Asymptotic behaviour of the Hausdorff dimension of Julia set for quadratic polynomials around $-2$
Euklidisk geometri var den första ge- ometrin som man stötte på i grundskolan, allt från trianglar till cirklar. Samtidigt fick man lära sig att inget av dessa objekt finns i verk- ligheten. Det var inte förrän Benoı̂t Mandelbrot (1924-2010) insåg att många naturfenomen är så oregelbundna och komplexa att de inte kan beskrivas med euklidisk geometri. I detta sam- manhang verkar Mandelbrots citat vLet $\dim_H(\mathcal{J}_\epsilon)$ and $\dim_H(\mathcal{J}_{i\epsilon})$ denote the Hausdorff dimension of the Julia set of the polynomials $f_\epsilon(z) = z^2 -2 -\epsilon$ and $f_{i\epsilon}(z) = z^2 -2 +i\epsilon$ receptively for small $\epsilon>0$. This thesis contains two main Theorems, both dealing with the upper bound for the asymptotic behaviour of $\dim_H(\mathcal{J}_\epsilon)$ and $\dim