Kursen behandlar modellbygge och estimation i olinjära dynamiska stokastiska modeller för finansiella system. Modellerna kan ha kontinuerlig eller diskret tid och modellbygget avser såväl att bestämma modellernas struktur som att estimera eventuella parametrar. Vanliga modellklasser är t.ex. GARCH-modeller med diskret tid eller modeller baserade på stokastiska differentialekvationer med kontinuerlThe course deals with model building and estimation in non-linear dynamic stochastic models for financial systems. The models can have continuous or discrete time and the model building concerns determining the model structure as well as estimating possible parameters. Common model classes are, e.g., GARCH models with discrete time or models based on stochastic differential equations in continuous

Minsta-kvadrat- och maximum-likelihood-metoden; Oddskvoter; Multipel linjär och logistisk regression; Matrisformulering; Metoder för modellvalidering, residualer, outliers, inflytelserika observationer, multikolinjäritet, variabeltransformationer; Val av regressorer, F-test, likelihood-kvot-test; Konfidensintervall och prediktion. Något om korrelerade fel, Poissonregression samt multinomial och orLeast squares and maximum-likelihood-method; odds ratios; Multiple and linear regression; Matrix formulation; Methods for model validation, residuals, outliers, influential observations, multi co-linearity, change of variables; Choice of regressors, F-test, likelihood-ratio-test; Confidence intervals and prediction. Introduction to: Correlated errors, Poisson regression as well as multinomial and

Bayesianska metoder för stokastisk modellering, klassificering och rekonstruktion. Stokastiska fält, Gaussiska fält, Kriging, Markovfält, Gaussiska Markovfält, icke gaussiska observationer. Kovariansfunktioner, multivariata tekniker. Simuleringsmetoder för stokastisk inferens (MCMC m.m.). Tillämpningar inom klimat, miljöstatistik, fjärranalys och spatial statistik.Bayesian methods for stochastic modelling, classification and reconstruction. Random fields, Gaussian random fields, Kriging, Markov fields, Gaussian Markov random fields, non-Gaussian observations. Covariance functions, multivariate techniques. Simulation methods for stochastic inference (MCMC, etc.). Applications in climate, environmental statistics, remote sensing, and spatial statistics.

Svag konvergens i allmäna funktionsrum. Icke-mätbara funktionaler (Hoffman-Jörgensen's teori). Karaktärisering med stramhet och konvergens av ändligtdimensionella fördelningar. Empiriska processer. Covering numbers och bracketing numbers. VC-klasser av funktioner. Funktionell deriverbarhet (glatta statistiska funktionaler). Tillämpning på överlevnadsanalys (Nelson-Aalen och Kaplan-Meier skaWeak convergence on general function spaces. Non-measurable functionals (Hoffman-Jörgensen's theory). Characterization of tightness and convergence of finite dimensional distributions. Empirical processes. Covering numbers and bracketing numbers. VC-classes of functions. Functional differentiability  (smooth statistical functionals). Application to survival analysis  (Nelson-Aalen and

Kursen består av två (dock inte fristående) delar. I det första momentet kommer vi att inrikta oss mot optionsteori i diskret tid. Avsikten är att snabbt och enkelt definiera vissa nyckelord som arbitragefrihet och kompletthet, samt martingaler och martingalmått. Vi kommer att använda trädstrukturer för att modellera tidsutveckling för aktiekurser och informationsflöden. Under det andra momentet The course consists of two related parts. In the first part we will look at option theory in discrete time. The purpose is to quickly introduce fundamental concepts of financial markets such as free of arbitrage and completeness as well as martingales and martingale measures. We will use tree structures to model time dynamics of stock prices and information flows. In the second part we will study

Kursen behandlar: • logik och mängdlära; talsystemets uppbyggnad; likheter och olikheter; absolutbelopp; potenser och logaritmer; andragradskurvor, andragradsekvationen, polynom; komplexa tal; trigonometri; • talföljder, aritmetiska och geometriska summor; matematisk induktion; binomialsatsen; • funktionsbegreppet, monotona funktioner, inversa funktioner; de elementära funktionernas egenskaper: grThe course treats: • logic and set theory; the number system; equalities and inequalities; absolute value; powers and logarithms; second degree curves and equations, polynomials; complex numbers; trigonometry; • number sequences; arithmetic and geometric sums; mathematical induction; the binomial theorem; • functions, monotone functions, inverse functions; the properties of the elementary function

Kursens behandlar: Funktioner av flera variabler: grundläggande topologi i R3, kontinuitet Differentialkalkyl för funktioner av flera variabler: partiella derivator,differentierbarhet, kedjeregeln, gradient och riktningsderivata, extremvärden,tillämpningar av differentialkalkyl Integralkalkyl för funktioner av flera variabler: multipelintegraler,variabelsubstitution, tillämpningar OrdinäThe course treats: Functions of several variables: basic topology in R3, continuity, Differential calculus of functions of several variables: partial derivatives,differentiability, the chain rule, gradient and directional derivatives, extreme values, applications of differential calculus, Integral calculus of functions of several variables: multiple integrals, variable substitution, applic

Kursen behandlar: De reella talen: axiomatisk beskrivning och exempel på bevis för grundläggande räkneregler. De elementära funktionerna, polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen och den naturliga logaritmen, de trigonometriska funktionerna och de inversa trigonometriska funktionerna; definitioner, grundläggande egenskaper och kvantitativa approximationer med hjälp av representaThe course treats: The real numbers: axioms, examples of proofs of basic arithmetical rules. The elementary functions, polynomials, rational functions, the exponential function and the natural logarithm, the trigonometric functions and the inverse trigonometric functions; definitions, basic properties, and quantitative approximations using representations in terms of areas and arclengths.

Kursen behandlar: Elementär logik och mängdlära Grundläggande egenskaper hos de naturliga talen och heltalen: induktion, delbarhet, Euklides algoritm Grundläggande egenskaper hos polynom: delbarhet, Euklides algoritm Komplexa tal Lineära ekvationssystem, Gausselimination Vektorer i två och tre dimensioner, baser och koordinater, lineärt beroende, ekvationer för linjer och plan SkalThe course treats: Elementary logic and set theory Basic properties of the natural numbers and the integers: induction, divisibility, Euclid’s algorithm Basic properties of polynomials: divisibility, Euclid’s algorithm Complex numbers Linear systems of equations, Gaussian elimination Vectors in two and three dimensions, bases and coordinates, linear dependence, equations of lines and

Kursen behandlar Funktioner av flera variabler, grundläggande topologi i R^n. Kontinuitet, satser om kontinuerliga funktioner av flera variabler. Differentierbara funktioner, gradienter och riktningsderivator. Extremvärden och optimering. Taylor´s formel.  Multipelintegraler, generaliserade integraler, ytintegraler. Variabelbyte. The course treats: Functions of several variables, basic topology in R^n. Continuity, theorems about continuous functions. Differentiable functions, gradients and directional derivatives. Taylor's formula. Extreme values and optimization. Multiple integrals, improper integrals, change of variables.

Variabelsubstitution, inversa och implicita funktioner, kurv- och ytintegraler samt grundläggande satser som Greens formel, Gauss divergenssats, Stokes sats behandlas.Variable substitution, inverse and implicit functions, curve and surface integrals, Green's formula, Gauss Divergence Theorem, Stokes Theorem are treated.

Kursen behandlar: Numeriska serier, konvergenskriterier  Funktionsserier, såsom potensserier och Fourierserier, absolut och likformig konvergens, punktvis konvergens Viktiga satser om Fourierserier, såsom Parsevals formel, Bessels olikhet, konvergenssatser Cosinus- och sinusserier Tillämpningar inom klassiska partiella differentialekvationer Fouriertransformen, teori oThe course covers the following topics: Numerical series, Convergence criteria Function series, such as power series and Fourier series, absolute and uniform convergence, pointwise convergence Theorems on Fourier series, such as Parseval formula, Bessel's inequality, convergence theorems Cosine and sine series Applications in classical partial differential equations The Fourier trans

Kursen behandlar:   Matriser: matrisoperationer, matrisinvers, matrisrang Determinanter: definition och egenskaper Lineära rum: underrum, lineärt hölje, lineärt beroende/oberoende, bas, dimension Euklidiska rum: skalärprodukt, Cauchy-Schwarz olikhet, ortogonalitet, ortonormerade baser, ortogonalisering, ortogonala matriser, ortogonal projektion, ortogonalt komplement, minsta kvadratmetodThe course treats Matrices: matrix operations, matrix inverse, matrix rank Determinants: definition and properties Linear spaces: subspace, span, linear dependence/independence, basis, dimension Euclidean spaces: scalar product, Cauchy-Schwarz inequality, orthogonality, orthonormal bases, orthogonalisation, orthogonal matrices, orthogonal projection, orthogonal complement, least squares metho

Kursen behandlar: Egenskaper hos de reella talen R: fullständighetsaxiomet, Cauchy-följder, kardinalitet av rationella och irrationella tal. Topologi i R^n: öppna och slutna mängder, p-normer, konvergens, kompakthet och Bolzano-Weierstrass sats, sammanhängande mängder. Kontinuerliga funktioner i R^n: satsen om mellanliggande värden, satsen om största och minsta värde, likformig kontinuitet, koThe course treats: Properties of the real numbers R: completeness axiom, Cauchy sequences, cardinality of rational and irrational numbers. Topology in Rn: open and closed sets, p-norms, convergence, compactness and the Bolzano-Weierstrass theorem, connected sets. Continuous functions in Rn: intermediate value theorem, min-max theorem, uniform continuity, continuity of inverse functions, implic

Kursen behandlar: Grundläggande egenskaper hos Fourierserier av funktioner i en variabel. Exponentialform och trigonometrisk form. Riemann-Lebesgues lemma. Elementära villkor för punktvis och likformig konvergens. Gibbs fenomen. Grundläggande egenskaper hos faltningar av periodiska funktioner i en variabel. Samspelet med Fourierserier. Faltningskärnor och deras tillämpningar vid summering av FoThe course treats: Basic properties of Fourier series of functions in one variable. Exponential form and trigonometric form. Riemann-Lebesgue lemma. Elementary conditions for pointwise and uniform convergence. Gibbs phenomenon. Basic properties of convolutions of periodic functions in one variable. Interaction with Fourier series. Convolution kernels and their applications in summing Fourier se

Kursen behandlar: Talteori: delbarhet, primtal, Euklides algoritm, kinesiska restsatsen, modulär aritmetik Mängder, funktioner och relationer, ekvivalensrelationer. Kombinatorik: de fyra fallen dragning med/utan återläggning, med/utan hänsyn till ordning, binomialkoefficienter, principen om inklusion och exklusion, metoden med genererande funktion Rekursion: rekursionsformler och differensekvThe course treats: Number theory: divisibility, prime numbers, the Euclidean algorithm, Chinese remainder theorem, modular arithmetic Sets, functions and relations, equivalence relations Combinatorics: the four cases of counting with or without repetition and with or without regard to order, binomial coefficients, the principle of inclusion and exclusion, the method of generating functions Re

Kursens syfte är att ge nödvändiga kunskaper i digital bildanalys för fortsatt forskning inom området samt för att kunna använda digital bildanalys inom andra forskningsområden, till exempel datorgrafik, bildkodning, videokodning och industriella bildbehandlingsproblem. Syftet är också att förbereda studenten för fortsatta studier i t ex datorseende, multispektral bildanalys och statistisk bildanaThe aim of the course is to give necessary knowledge of digital image analysis for further research within the area and to be able to use digital image analysis within other research areas such as computer graphics, image coding, video coding and industrial image processing problems. The aim is also to prepare the student for further studies in e.g. computer vision, multispectral image analysis an

Kursen behandlar grundläggande teori för analytiska funktioner: Elementära egenskaper hos analytiska funktioner i en variabel. Komplex differentierbarhet och Cauchy-Riemanns ekvationer. Räkneregler. Elementära exempel på analytiska funktioner: potensserieutvecklingar, exponentialfunktioner, grenar av logaritmer samt av dessa genom räkneregler definierade funktioner. Kurvintegraler i det komplexThe course treats basic theory of analytic functions: Elementary properties of analytic functions in one variable. Complex differentiability and Cauchy-Riemann equations. Calculation rules. Elementary examples of analytic functions: power series expansions, exponential functions, branches of logarithms, and functions defined by these calculation rules. Contour integrals in the complex plane. Ca

Kursen behandlar: Existens och entydighet av lösningar till begynnelsevärdesproblem för system av ordinära differentialekvationer. Approximation av lösningar och kontinuerligt beroende på parametrar. Lineära system med variabla och konstanta koefficienter. Fundamentalmatriser och matrisexponentialfunktionen. Autonoma system. Fasporträtt. Stabilitetsteori. Periodiska lösningar. Tillämpningar The course treats: Existence and uniqueness of solutions to initial value problems for systems of ordinary differential equations. Approximation of solutions and continuous dependence on parameters. Linear systems with variable and constant coefficients. Fundamental matrices and the matrix exponential function. Autonomous systems. Phase portraits. Stability theory. Periodic solutions. Applic

Kursen behandlar variationsproblem utan och med bivillkor, Eulers ekvationer utan och med bivillkor, Legendres, Jacobis och Weierstrass nödvändiga villkor för lokalt minimum, Hilberts invarianta integral och Weierstrass tillräckliga villkor för starkt lokalt minimum, Hamiltons princip och Hamiltons ekvationer, Lagranges och Mayers problem.The course treats variational problems with and without constraints, Euler equations with and without constraints, Legendre, Jacobi and Weierstrass necessary condition for local minimum, Hilbert invariant integral and Weierstrass sufficient conditions for strong local minimum, Hamilton's principle and Hamilton's equations, Lagrange and Mayer's problems.