Centrala moment i kursen är existens- och entydighetssatser om mått definierade på sigma-fält, integrationsteori, betingade väntevärden och svag konvergens på metriska rum.A central part of the course is existence- and uniqueness theorems about measures defined on sigma-algebras, integration theory, conditional expectation and weak convergence in metric spaces.

 Kursen behandlar kurvors och ytors geometri, företrädesvis i tre dimensioner. Speciellt studeras begrepp som krökning och torsion. Kursen behandlar: Geometrin hos kurvor i euklidiska rum, deras krökning och torsion och hur dessa bestämmer kurvorna. Geometrin hos ytor i euklidiska rum, deras första och andra fundamentalform, Gaussavbildningen, principalkrökningar, Gausskrökning och medeThe course treats the geometry of curves and surfaces, especially in three dimensions. In particular, we study the concepts of curvature and torsion. The course covers: The geometry of curves in Euclidean space, their curvature and torsion and how these determine the curves. The geometry of surfaces in Euclidean space, their first and second fundamental forms, the Gauss map, principal curvat

Kursen behandlar: Ändligt genererade grupper: fria grupper, Nielsen-Schreiers teorem, gruppresentationer, ändligt presenterade grupper. Fria produkter: fria produkter med amalgamation, HNN-extensioner. Lösbara grupper: polycykliska grupper, nilpotenta grupper. Undergrupper: undergrupper med ändlig index, virtuella egenskaper, maximala undergrupper. Residuellt ändliga grupper: Hopfiska gruppeThe course treats: Finitely generated groups: free groups, Nielsen-Schreier Theorem, group presentations, finitely presented groups. Free products: free products with amalgamation, HNN extensions. Solvable groups: polycyclic groups, nilpotent groups. Subgroups: finite-index subgroups, virtual properties, maximal subgroups. Residually finite groups: Hopfian groups, Malcev's Theorem, Baumslag-

Kursen behandlar: metriska och topologiska rum med exempel, produkttopologier, kontinuitet, sammanhängande topologiska rum, fullständighet och kompakthet, inklusive Arzela-Ascolis sats, exempel på tillämpningar och topologiska strukturer, exempel på metriska och topologiska rum med relevans för andra områden, såsom normerade rum och Hilbertrum.The course treats: topological spaces and metric spaces with examples, product topologies, continuity of functions, connectedness, completeness, and compactness, including the Arzela-Ascoli Theorem, examples of applications and topological structures, examples of metric and topological spaces relevant in other areas of mathematics, such as normed spaces and Hilbert spaces.

Kursen behandlar: randvärdesproblem; Sturm-Liouville-teori och egenfunktionsutvecklingar; autonoma system; fasporträtt; stabilitetsteori; periodiska lösningar; kaos.The course treats: boundary value problems; Sturm-Liouville theory and eigenfunction expansions; autonomous systems; phase portraits; stability theory; periodic solutions; chaos.

Kursen behandlar: Fourierserier, Fouriertransformen och den ändliga Fouriertransformen, L^2-konvergens av Fourierserier, punktvis konvergens, Cesàro-medelvärden och Fejers sats, Weyls kriterium, Fouriers inversionssats, Parsevals och Plancherels satser, Poissons summationformel och Heisenbergs olikhet, exempel på tillämpningar inom fysik och inom andra områden inom matematiken, såsom dynamiska sysThe course treats: Fourier series, Fourier transform and finite Fourier transform, L^2 convergence of Fourier series, pointwise convergence, Cesàro means and Fejer’s theorem, Weyl’s criterion, the Fourier inversion theorem, Parseval’s and Plancherel’s theorem, Poisson summation formula, and the Heisenberg inequality, examples of applications in physics and in other areas of mathematics, such as dy

Kursens behandlar mått definierade på en sigma-algebra, konstruktion av mått med hjälp av yttre mått, i synnerhet Lebesgue-måttet på Rd. Dessa begrepp används sedan för att definiera integralen av en mätbar funktion med avseende på ett visst mått och studera dess egenskaper. Fokus ligger på konvergensteorem, det vill säga omkastning av gränsvärdesövergång och integration, samt upprepad integrationThis course treats the general notion of a measure defined on a sigma-algebra, construction of measures with help of outer measures, in particular the Lebesgue measure in Rd. These concepts are then used to define the integral of a measurable function with respect to a given measure and study its properties. The focus is on convergence theorems, that is, interchanging limits and integrals, as well

Kursen behandlar Differentierbara mångfalder, deras tangentrum och tangentknippen. Riemannska metriker och deras unika Levi-Civita-förbindelse. Geodeter och den viktiga Riemannska krökningsten sorn samt dess betydelse för den lokala geometrin. The course covers: Differentiable manifolds, their tangent spaces and tangent bundles. Riemannian metrics and their unique Levi-Civita connection. Geodesics and the important Riemann curvature tensor and its influence on the local geometry.

Kursen behandlar distributionsteorins grunder, testfunktioner, distributionsbegreppet, distributioner med kompakt stöd, operationer på distributioner, faltning, homogena distributioner och Fouriertransformen.The course treats the foundations of distribution theory test functions, the concept of a distribution, distributions with compact support, operations on distributions, convolution, homogeneous distributions and the Fourier transform.

Kursen behandlar: Grupper: Konjugatklasser. Burnsides lemma med tillämpning på Polyaräkning.Sylows satser. Strukturen hos ändligt genererade abelska grupper. Ringar: Noetherska och Artinska ringar och moduler. Artin-Wedderburns sats. Ändligt genererade moduler över en huvudidealring med tillämpning på Jordans normalform. Lineär algebra: Multilineära avbildningar. Tensorproduct The course treats: Groups: Permutation groups. Burnside's lemma with application to Pólya arithmetic. Sylow's theorems. Symmetric and alternating groups. The structure of finitely generated Abelian groups. Rings: Noetherian and Artinian rings and modules. Artin-Wedderburn's theorem. Finitely generated modules over a principal ideal domain with application to the Jordan's normal form of matri

Kursen behandlar grundläggande egenskaper hos Banach- och Hilbertrum och begränsade lineära operatorer definierade på sådana rum: Banachrum, Hahn-Banachs sats, svag konvergens och svag prekompakthet av enhetsklotet. Hilbertrum. Exempel inklusive L2-rum. Ortogonalitet, ortogonalt komplement, slutna underrum, projektionssatsen. Riesz representationsteorem. Ortonormala mängder, Pythagoras satThe course treats fundamental properties of Banach and Hilbert spaces and the bounded linear operators defined on them: Banach spaces, the Hahn-Banach Theorem, weak convergence and  weak precompactness of the unit ball. Hilbert spaces. Examples including L2 spaces. Orthogonality, orthogonal complement, closed subspaces, projection theorem. Riesz Representation Theorem. Orthonormal set

Kursen behandlar grundläggande egenskaper hos mått med tecken och komplexamått: Hahn- och Jordanuppdelning, absolut kontinuitet och Radon-Nikodyms teorem, singularitet, Lebesgue-uppdelning av mått, deriverbarhet av ändliga Borel-mått på R^d, deriverbarhet av absolutkontinuerliga funktioner, Hardy-Littlewoods maximalfunktion och uppskattningar för densamma, Hardy-Littlewoods maximalfunkThe course treats basic properties of signed and complex measures: Hahn and Jordan decomposition, absolute continuity and the Radon-Nikodym theorem, singularity, Lebesgue decomposition of measures, differentiability of finite Borel measures on Rd, differentiability of absolutely continuous functions, the Hardy-Littlewood maximal function and the weak type estimate for it, the Hardy-Lit

Kursen behandlar tillämpningar av: Hahn-Banachs sats, svag konvergens och kompakthet, Riesz representationssats, Ortonormala baser, Integraloperatorers begränsning, kompakthet och spektra, Spektralsatsen för kompakta, självadjungerade operatorer. The course treats applications of the Hahn-Banach theorem, weak convergence and compactness, the Riesz representation theorem, the use of orthonormal bases, boundedness, compactness and spectra of integral operators, the spectral theorem for compact, self-adjoint operators.

Kursen syftar till att ge fördjupade kunskaper i fysiken kring acceleratorer och erfarenhet om beräkningar och modellering av acceleratorsystem. Dessutom syftar kursen till en grundläggande förståelse av frielektronlasern och dess acceleratorsystem.  The aim of the course is to give deepened knowledge in the physics of accelerators and experience in both calculations and modeling of accelerator systems. In addition the course aims at providing a fundamental understanding of the Free Electron Laser and its accelerator systems.

The thesis should be a synthesis and further development of the knowledge and competences gained during the three terms of course work in LUMES on top of undergraduate studies. The thesis work should develop the student’s potential for professional sustainability work and/or for further research. The process puts great demands on the capacity to wThe thesis should be a synthesis and further development of the knowledge and competences gained during the three terms of course work in LUMES on top of undergraduate studies. The thesis work should develop the student’s potential for professional sustainability work and/or for further research. The process puts great demands on the capacity to w

I kursen diskuteras olika politiska ansatser och förhållningssätt till hållbarhetsfrågor i relation till den faktiska förmågan att hantera hållbarhetsutmaningar. Kursen tar upp centrala politiska faktorer samt hur vi kan förstå och skapa alternativa vägar till förändring. I kursen behandlas framför allt: Begreppet politik och dess historik och beståndsdelar. Aktuella politiska former och utmaniThe course addresses political approaches to and perspectives on sustainability issues and place these in relation to the actual ability to address sustainability challenges. It tackles both central political factors as well the creation of alternative pathways towards change. The main focuses of the course are: the concept of politics, its history and components; current political forms and ch

Kursen erbjuder tvärvetenskapliga perspektiv från miljögeografi för att studera sociala och miljömässiga processer i specifika geografiska sammanhang. Perspektiv från en rad olika forskningsfält, såsom markförändringsvetenskap, landskapsgeografi och politisk ekologi, behandlas. Kursen syftar till att fördjupa studentens förståelse för och förmåga att utforska de sociala, ekonomiska och miljömThe course provides interdisciplinary perspectives from the field of environmental geography aimed at studying the dynamics of social and environmental change in particular places. It covers perspectives from a variety of research fields, such as land-change science, landscape geography, and political ecology. It aims to advance students’ understanding of the spatial dimensions of social, economic

Kursen ger en översikt över ekonomiska teorier och ekonomisk tillväxt och analyserar deras miljömässiga och sociala konsekvenser, så som degradering av miljön eller inverkan på social välfärd och jämlikhet. Studenter utvecklar förmågan att kritiskt utvärdera implikationer från olika ekonomiska paradigm för transformativ förändring samt att kunna avväga deras respektive för- och nackdelar. Under kuThe course briefly reviews economic theories and economic growth and analyses their environmental and social consequences, for instance, environmental degradation, social welfare and equity. Students will develop competencies in critically assessing the implications of different economic paradigms for transformative change and weighing the trade-offs for each. During the course, students will: C